Бозе — Эйнштейна статистика Википедия

Вывод и описание

Статистикам Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна подчиняются системы тождественных частиц, в которых нельзя пренебречь квантовыми эффектами. Квантовые эффекты проявляются при значениях концентрации частиц (N/V) ≥ nq, где nq — это т.

 н. квантовая концентрация, при которой среднее расстояние между частицами равно средней волне де Бройля для идеального газа при заданной температуре.

При концентрации nqволновые функциичастиц «касаются» друг друга, но практически не перекрываются. Статистике Ферми — Дирака подчиняются т.

 н. фермионы (частицы, для которых справедлив принцип запрета Паули), а статистике Бозе — Эйнштейна — бозоны.

Поскольку квантовая концентрация растёт с увеличением температуры, большинство физических систем при высоких температурах подчиняется классической статистике Максвелла — Больцмана. Исключениями являются системы с очень высокой плотностью, например белые карлики.

В пределе высокой температуры или низкой концентрации частиц обе статистики переходят в классическую статистику Максвелла — Больцмана.

Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули — произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии, обладающем наименьшей энергией, формируя т. н. Бозе-конденсат.

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии i, равняется

где , ni  — количество частиц в состоянии i, gi  — вырождение уровня i, εi  — энергия состояния i, μ — химпотенциал системы, k — постоянная Больцмана, T — абсолютное значение температуры.

Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов отдельных частиц. Собственные функции гамильтониана системы представляются как произведение собственных функций гамильтонианов отдельных частиц.

А собственные значения (энергия) гамильтониана системы равна сумме энергий (собственных значений гамильтонианов) отдельных частиц. Если на данном энергетическом уровне εi{displaystyle varepsilon _{i}} находится ni{displaystyle n_{i}} частиц, то энергия системы есть взвешенная сумма
E=∑i=0∞niεi{displaystyle E=sum _{i=0}^{infty }n_{i}varepsilon _{i}}, а волновая функция системы есть произведение
.

ψ(r)=ψ(r1,r2,…,rn)=ψi1(r1)ψi2(r2)…ψin(rn),{displaystyle psi (r)=psi (r_{1},r_{2},…,r_{n})=psi _{i_{1}}(r_{1})psi _{i_{2}}(r_{2})…psi _{i_{n}}(r_{n}),}{displaystyle psi (r)=psi (r_{1},r_{2},...,r_{n})=psi _{i_{1}}(r_{1})psi _{i_{2}}(r_{2})...psi _{i_{n}}(r_{n}),}

где ψik{displaystyle psi _{i_{k}}} — волновая функция для энергетического уровня εik{displaystyle varepsilon _{i_{k}}}.

W(E)=eΩ μn−EΘg(E),{displaystyle W(E)=e^{frac {Omega mu n-E}{Theta }}g(E),}{displaystyle W(E)=e^{frac {Omega mu n-E}{Theta }}g(E),}

где g(E){displaystyle g(E)} — кратность вырождения данного уровня энергии.

Для описанной выше волновой функции перестановка координат меняет волновую функцию, то есть перестановка координат создает новое микросостояние. То есть выбор такой волновой функции предполагает микроскопическую различимость частиц.

Однако макроскопически они соответствуют одному и тому же состоянию. Поэтому для такой волновой функции при характеристике макросостояний необходимо вышеуказанную формулу разделить на n.

{displaystyle n. } для исключения многократного учета одного и того же макросостояния в статистической сумме.

Однако, необходимо учесть, что, как известно, произвольная линейная комбинация волновых функций тоже является решением уравнения Шредингера. В силу тождественности частиц, то есть их микроскопической неразличимости, необходимо выбрать такую линейную комбинацию, чтобы перестановка координат не меняла волновую функцию, то есть

ψ=∑PPψ,{displaystyle psi =sum _{P}Ppsi ,}{displaystyle psi =sum _{P}Ppsi ,}
W(n0,n1,…)=eΩ ∑l=0∞ni(μ−εi)Θ.{displaystyle W(n_{0},n_{1},…)=e^{frac {Omega sum _{l=0}^{infty }n_{i}(mu -varepsilon _{i})}{Theta }}.}{displaystyle W(n_{0},n_{1},...)=e^{frac {Omega sum _{l=0}^{infty }n_{i}(mu -varepsilon _{i})}{Theta }}.}

Отсюда можно показать, что

Ω=Θ∑i=0∞ln⁡(1−e(μ−εi)/Θ).{displaystyle Omega =Theta sum _{i=0}^{infty }ln(1-e^{(mu -varepsilon _{i})/Theta }).}{displaystyle Omega =Theta sum _{i=0}^{infty }ln(1-e^{(mu -varepsilon _{i})/Theta }).}

Среднее число частиц в заданном состоянии можно выразить через эту величину как частную производную (с противоположным знаком) по μi{displaystyle mu _{i}} условно полагая, что μ{displaystyle mu } различаются для каждого i{displaystyle i}. Тогда для среднего числа частиц в заданном состоянии согласно статистике Бозе — Эйнштейна, получаем

n¯i=1e(εi−μ)/kT−1,{displaystyle {overline {n}}_{i}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu )/kT}-1}},}{displaystyle {overline {n}}_{i}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu )/kT}-1}},}


где εi

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Псориаз
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: